Max nació en el barrio londinense de Hampstead y es el hijo del director de cine Anthony Minghella (1954—2008) y de Carolyn Choa, una coreógrafa nacida en la colonia británica de Hong-Kong. Creció en los sets de rodaje de las películas de su padre.
Empezó su carrera como actor en 2005 y ha participado en varias películas, como Ágora (2009), del director español Alejandro Amenábar, donde da vida a Davo, en The Social Network (2010) como Divya Narendra, en Art School Confidential (2006) como Jerome Platz y también junto a los reconocidos actores Vince Vaughn, Owen Wilson y Dylan O'Brien en The Internship (2013) como Graham Hawtrey, un egocéntrico aprendiz interesado en formar parte del equipo selecto de empleados de Google. Parte de la película fue rodada en las instalaciones del Instituto de Tecnología de Georgia en Atlanta, Georgia.
En 2013 protagonizó el video del single "Shot At The Night" de la banda de rock estadounidense "The Killers" junto a la también actriz Bella Heathcote.
Actualmente vive en Londres, donde estudia y suele participar en películas durante las vacaciones de verano.
En 2017 dio vida a Nick en la serie de televisión The Handmaid's Tale, basada en el libro homónimo de la autora Margaret Atwood.
